Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 9 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) ((9 - λ) (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Développez $(9 - λ) (9 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (9 (9 - λ) - λ (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (9 \cdot 9 + 9 (- λ) - λ (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (9 \cdot 9 + 9 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 + 9 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $9 λ$ de $- 9 λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $81 - 18 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.3

Déplacez $81$ .

$p (λ) = (8 - λ) (- 18 λ + λ^{2} + 81) + 0 + 0$

Étape 1.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 18 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0 + 0$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0 + 0$ .

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Étape 1.5.5.1.1

Additionnez $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ et $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0$

Étape 1.5.5.1.2

Additionnez $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ et $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$

Étape 1.5.5.2

Développez $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 18 λ) + 8 \cdot 81 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.3.1

Multipliez $- 18$ par $8$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 8 \cdot 81 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.2

Multipliez $8$ par $81$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - (λ^{2} λ) - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.3.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{2 + 1} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 λ \cdot λ - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.3.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 (λ \cdot λ) - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 λ^{2} - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} + 18 λ^{2} - λ \cdot 81$

Étape 1.5.5.3.7

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} + 18 λ^{2} - 81 λ$

Étape 1.5.5.4

Additionnez $8 λ^{2}$ et $18 λ^{2}$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 81 λ$

Étape 1.5.5.5

Soustrayez $81 λ$ de $- 144 λ$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 225 λ + 648 - λ^{3}$

Étape 1.5.5.6

Déplacez $648$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 225 λ - λ^{3} + 648$

Étape 1.5.5.7

Déplacez $- 225 λ$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - λ^{3} - 225 λ + 648$

Étape 1.5.5.8

Remettez dans l’ordre $26 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 648, \pm 2, \pm 324, \pm 3, \pm 216, \pm 4, \pm 162, \pm 6, \pm 108, \pm 8, \pm 81, \pm 9, \pm 72, \pm 12, \pm 54, \pm 18, \pm 36, \pm 24, \pm 27$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 648, \pm 2, \pm 324, \pm 3, \pm 216, \pm 4, \pm 162, \pm 6, \pm 108, \pm 8, \pm 81, \pm 9, \pm 72, \pm 12, \pm 54, \pm 18, \pm 36, \pm 24, \pm 27$

Étape 1.7.1.1.3

Remplacez $8$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $8$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.1.3.1

Remplacez $8$ dans le polynôme.

$- 8^{3} + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $512$ .

$- 512 + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 512 + 26 \cdot 64 - 225 \cdot 8 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.5

Multipliez $26$ par $64$ .

$- 512 + 1664 - 225 \cdot 8 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.6

Additionnez $- 512$ et $1664$ .

$1152 - 225 \cdot 8 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.7

Multipliez $- 225$ par $8$ .

$1152 - 1800 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.8

Soustrayez $1800$ de $1152$ .

$- 648 + 648$

Étape 1.7.1.1.3.9

Additionnez $- 648$ et $648$ .

$0$

Étape 1.7.1.1.4

Comme $8$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 8$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648}{λ - 8}$

Étape 1.7.1.1.5

Divisez $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ par $λ - 8$ .

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Étape 1.7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$8$

$λ^{3}$

$26 λ^{2}$

$225 λ$

$648$

Étape 1.7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$

Étape 1.7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{3} + 8 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$

Étape 1.7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $18 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$

Étape 1.7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					+	$18 λ^{2}$	-	$144 λ$

Étape 1.7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $18 λ^{2} - 144 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$

Étape 1.7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$

Étape 1.7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$

Étape 1.7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 81 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$

Étape 1.7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							-	$81 λ$	+	$648$

Étape 1.7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 81 λ + 648$

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							+	$81 λ$	-	$648$

Étape 1.7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							+	$81 λ$	-	$648$
										$0$

Étape 1.7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 18 λ - 81$

Étape 1.7.1.1.6

Écrivez $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 8) (- λ^{2} + 18 λ - 81) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ et dont la somme est $b = 18$ .

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Étape 1.7.1.2.1.1.1

Factorisez $18$ à partir de $18 λ$ .

$(λ - 8) (- λ^{2} + 18 (λ) - 81) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.2

Réécrivez $18$ comme $9$ plus $9$

$(λ - 8) (- λ^{2} + (9 + 9) λ - 81) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ - 8) (- λ^{2} + 9 λ + 9 λ - 81) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ - 8) ((- λ^{2} + 9 λ) + 9 λ - 81) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ - 8) (λ (- λ + 9) - 9 (- λ + 9)) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- λ + 9$ .

$(λ - 8) ((- λ + 9) (λ - 9)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 8) (- λ + 9) (λ - 9) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 8 = 0$

$- λ + 9 = 0$

$λ - 9 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ - 8$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez $λ - 8$ égal à $0$ .

$λ - 8 = 0$

Étape 1.7.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 8$

Étape 1.7.4

Définissez $- λ + 9$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $- λ + 9$ égal à $0$ .

$- λ + 9 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez $- λ + 9 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 9$

Étape 1.7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.7.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.7.4.2.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$λ = 9$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 8) (- λ + 9) (λ - 9) = 0$ vraie.

$λ = 8, 9$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 8$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 8 - 8 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Soustrayez $8$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Soustrayez $8$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 9$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - 9 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 9$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 8 - 9 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $9$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Soustrayez $9$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Soustrayez $9$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 9$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 8 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 8 z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 z \\ y \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y, z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$